МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

А.А. Малышев

Логачёва Людмила Фёдоровна, научный руководитель преподаватель ФСПО Технологического института им. Н.Н. Поликарпова ФГБОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК», г. Орёл

Во многих сборниках нестандартных задач часто встречаются задачи на составление математических квадратов. Многие задания такого типа включают в математические олимпиады, поэтому многим изучающим математику полезно знать способы решения задач такого типа. Актуальность данной темы обусловлена тем, что умение составлять математические квадраты помогает в решении различных головоломок и задач по данной теме. Также эта тема подогревает интерес к изучению математики, развивает любознательность и логическое мышление.

Данная тема, несмотря на обилие литературы, мало изучается или не изучается совсем в рамках школьной программы. Данная работа предназначена возбудить интерес к истории возникновения и решения математических квадратов.

Цель работы: исследовать историю возникновения и развития магических квадратов, изучить основные способы составления магических квадратов.

Задачи работы.

1. Анализ литературы и ресурсов Интернета об определении магических квадратов.
2. Описать все магические квадраты 1-го, 2-го, 3-го порядков.
3. Сравнить частоту «встречаемости» магических квадратов порядков n>3.
4. Изучение методов и способов заполнения магических квадратов нечетного порядка.

Объект работы – магические квадраты.

Методы исследования: поиск информации в научной и учебной литературе, а также поиск информации в ресурсах интернета; практический метод составления магических квадратов на основе полученных знаний.

Определение магического квадрата.

Представим себе квадрат, разделенный на клетки (число клеток по вертикали и горизонтали одинаково). В каждую из клеток впишем последовательные числа натурального ряда, начиная с 1, так, чтобы суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на главных диагоналях были одинаковы. То, что при этом получится, и будет традиционным магическим квадратом.

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Некоторое представление о том, каких фантастических размеров достигали сочинения о магических квадратах, можно получить из того факта, что французский трактат на эту тему, выпущенный в 1838 году, когда о магических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, вышел в трех объемистых томах. С давних времен и поныне исследование магических квадратов процветало как своеобразный культ, часто не без мистического тумана. Среди лиц, занимавшихся изучением магических квадратов, были и известные математики, такие, как Артур Кэли и Освальд Веблен, и такие любители, как, например, Бенджамин Франклин.

Порядком магического квадрата называется число клеток, примыкающих к его стороне.

Постоянной магического квадрата является сумма чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на каждой из двух диагоналей. Постоянная магического квадрата равна полусумме n³ и n, где n – порядок магического квадрата.

Магические квадраты 1-го, 2-го, 3-го порядков.

Магический квадрат 1-го порядка представляет собой тривиальный случай – квадрат состоит из одного числа.

Магический квадрат 2-го порядка не существует.

Магический квадрат существует только один (если не считать магических квадратов, получающихся из него при поворотах и отражениях).

На рисунке 1 пример магического квадрата.

Рис.1

По сей день квадрат 3-го порядка можно увидеть на амулетах, которые носят в Индии и в Восточной Азии.

Порядок «встречаемости» магических квадратов порядков n > 3.

Как только мы переходим к квадратам n > 3 их сложность резко возрастает. Все магические квадраты порядков n > 3 существуют. Если рассматривать дьявольские квадраты (квадраты, в которых также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях), то они возможны во всех порядках n, больших 4, за исключением четных n, не делящихся на 4.

Изучение методов и способов заполнения магических квадратов нечетного порядка.

Существует большое количество методов заполнения магических квадратов нечетных порядков: метод террас, индийский метод, метод Москопула, метод альфила.

Рассмотрим метод террас для заполнения квадрата пятого порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 2) или сверху вниз (рис. 3). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата.

На рисунке 2 числа от 1 до 25 располагают в естественном порядке косыми рядами сверху вниз.

На рисунке 3 числа от 1 до 25 располагают в естественном порядке косыми рядами сверху вниз.

На рисунке 4 изображен готовый магический квадрат, он аналогичен по структуре.

Рис.4

Список литературы:

1. Гарднер, Мартин Математические головоломки и развлечения. М.:Мир, 1971

2. Постников, М. М. Магические квадраты. - М.: Наука, 1964.

3. Гуревич, Е. Я. Тайна древнего талисмана. - М.: Наука, 1969.

4. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.